Adolf Hurwitz, Richard Courant's Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und PDF

By Adolf Hurwitz, Richard Courant

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D. ) i) In der Literatur wird sonst statt "Domäne" meist "offenes Gebiet" oder "offener Bereich" oder auch schlechthin "Gebiet" bzw. "Bereich" gesagt. (A. d. ) I, 3. Der Begriff der analytischen Funktion. 44 Endlich wollen wir noch folgende Terminologie bezüglich der Fortsetzung einer Potenzreihe einführen. Wenn wir die Fortsetzung ~(zJb) der Potenzreihe ~ (zja) dadurch herleiten, daß wir die Potenzreihen ~(zJa), ~(z/a'), ~(z/a"), ... , ~(z/a(n»), ~(zJb) bilden, von denen jede eine Umbildung der vorhergehenden ist, so wollen wir sagen, die Fortsetzung von ~ (zJa) sei durch Vermittelung der Stellen a', a", .

Z/zo)' Die konstanten Glieder dieser Potenzreihen sind dann die Werte der Funktion fez) für z = zo' Diese Definition halten wir auch noch für Zo = 00 fest. Wenn also dem Systeme von Potenzreihen auch eine oder mehrere Potenz- 42 I, 3. Der Begriff der analytischen Funktion. reihen \ß (z/oo) angehören, so sollen die konstanten Glieder dieser Potenzreihen die Werte der Funktion ((z) für z = 00 sein. Eine Funktion von z heißt eine analytische Funktion, wenn sie in dieser Weise durch ein monogenes System von Potenzreihen erklärt werden kann.

W. Stehen zwei Potenzreihen in der eben betrachteten Beziehung zueinander, haben also ihre Konvergenzkreise ein Stück gemeinsam und besitzen die Reihen innerhalb dieses Stückes überall denselben Wert, so heißt jede der Reihen eine "unmittelbare Fortsetzung" der andern. § 9. Ein Hilfssatz über Potenzreihen. •• (1) komplexe Zahlen, so wollen wir unter n=-oo die Summe der beiden Reihen ~ ao (2") l + a + a + as + .. a_ + a_ + a_ s + .. l l 2 2 verstehen. Nur wenn diese beiden Reihen konvergent sind, stellt also das Symbol (1) eine bestimmte komplexe Zahl, nämlich die Summe der beiden Limites lim (a o n=oo vor.

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