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By Cesare Rossetti

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CI 28 - 1) VP 7 Data la funzione F( a , b ; x ) = _ Ja 2 - x 2 , con a e b reali positivi, b2 x 2 considerando il caso di b > a, calcolare l 'integrale ! mente il valore delrintegrale I = ficanclo che J = Pag. 332 ! (a, a) . :3) Considerando il caso di b < fa -a a, 1_: F( a , b ; x ) dx . re il valor XXIX principale P(a, b) P J_aa F(a, b; x ) dx . Quale è la ragione per cui i risultati ottenuti ai punti 1) e 3) sono strutturalmente diversi? Pag . S P O 12. Sviluppare la funzione x f3 in serie di polinomi di Laguerre L � ( x ) e dire per quali valori del parametro /3 taleneisviluppo è valido.

Valutare poi l 'integrale che compare in essa, in modo da ottenere una espressione elementare esplicita per f ( z ) che ne evidenzi a sua volta le singolarità. Pag . :3 1 1 = o X dx - . · - XXV I I I 26. Data l 'equazione z ( z - 1 ) 2 ( z - 2 ) 1t 11 + 2 ( z - 1 ) 3 u 1 + 6u = O , indivi­ duarne i punti singolari, riconoscerne la natura e calcolare gli esponenti caratte­ ristici cli quelli fuchsiani. Determinare poi la soluzione corrispondente al minore degli esponenti del punto z = 1 . Pag. 3 1 4 ED TF 5.

E e quindi (e sta per uno dei due estrem i di integrazione . ,,. ,,. ' J3 [5] 4 x 2 + 4 ( -x + 1 ) 1 /2 ] } R2 -- { Res [ -4 - X2 1 - X x= - 2 1/2 2 = - x-+lim2 (x - 2) ( x -x2)+( x4+ 2) ( (x -x +l) el - i7r ) -2J3ei7r/ 2 . = Per valutare R00 , consideriamo lo svilu ppo in serie di Laurent della funzione in­ tegranda, valido nell 'intorno del punto all 'infinito, fissando la nostra attenzione sul coefficiente di di tale svilu ppo che è notoriamente l 'opposto di R00 ; si ha 1/x x 2 + 4 ( X + 1 ) l /2 4 - x2 1 - X 1 + 4 / x 2 [ 1 + 1/ xe 71" ] 1 1 2 1 - 4/x 2 ( 1 - 1 /x) -i - ei7r/ 2 ( 1 + x42 ) ( 1 + x42 + O(x - 4)) (l + � } + o (x - 2 ) ) (l + � } + o (x - 2 )) - ei7r/ 2 (.

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